Masalah Pengasas Falsafah Matematik

Soalan paling mudah dalam falsafah matematik menunjukkan isu yang mendalam: mengapa 1+1 = 2? Mengapakah pernyataan “1+1 = 2” rasa sangat berbeza dengan kenyataan seperti 'hujan semalam'? Untuk perkara itu, apakah yang kita maksudkan dengan '1', '2', ...? Adakah '1' wujud? Jika ya, bagaimana, dan di mana? Soalan-soalan ini telah tersedia kepada ahli falsafah selagi matematik telah diamalkan. Mereka, seperti banyak soalan falsafah, sangat umum dan sangat sukar untuk dijawab - untuk memahami kenyataan sebenar seperti '1+1 = 2', nampaknya seseorang memerlukan banyak jentera falsafah, seperti yang berlaku dengan penerokaan pra-moden ke dalam falsafah matematik. Daripada Plato, kepada Leibniz, kepada Kant, jawapan kepada soalan di atas membawa kepada dan membentuk sebahagian daripada sistem yang lebih besar: falsafah matematik.

Falsafah Matematik: Daripada Soalan yang Sederhana kepada Soalan yang Paling Kompleks

Kedua-dua matematik dan falsafah telah banyak berubah dalam masa yang singkat. Kebimbangan lama masih membimbing siasatan: ahli falsafah matematik perlu menentukan jenis kewujudan yang diberikan kepada objek seperti '1' dan 'bulatan', dan jenis kebenaran untuk pernyataan seperti '1+1 = 2'. Tetapi matematik moden bertanya kepada ahli falsafah soalan baru dan mengganggu, dan menunjuk kepada objek yang sifatnya lebih sukar untuk dihuraikan. Soalan-soalan ini telah menimbulkan jawapan yang berbeza-beza dan kelihatan tidak serasi sehingga falsafah matematik boleh kelihatan seperti sukan yang aneh di mana seseorang memilih satu pihak dan mempertahankannya secara agama terhadap semua yang lain. Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa terdapat begitu banyak 'pihak' yang mustahil untuk berharap untuk menutup semuanya dalam pengenalan ringkas seperti yang sedang anda baca.

Ini sama sekali bukan untuk mengatakan bahawa falsafah matematik mengalami kepelbagaian pendapat yang lebih besar daripada bidang falsafah yang lain. Walau bagaimanapun, untuk merasakan perniagaan rumit memikirkan matematik secara falsafah, adalah lebih baik untuk tidak melupakan kebimbangan matematik yang ada di sebalik pelbagai sekolah ini. Ciri ingin tahu falsafah matematik ialah kecenderungan untuk matematik tulen, dan bukan hanya lebih banyak falsafah, untuk bercambah daripada penyelidikan falsafah, dan sama-sama untuk kemajuan matematik tersandung pada isu asas yang mendalam. Falsafah matematik di satu pihak, dan metamatematik (kajian asas-asas matematik menggunakan teknik matematik) di pihak yang lain, secara langsung berkaitan sejarah, dan masing-masing telah menjadi semakin penting kepada yang lain.

David Hilbert: Projek Hebat dalam (Falsafah) Matematik

Mari kita lihat arka sejarah yang menyentuh banyak isu utama dalam falsafah matematik, mikrokosmos interaksi antara falsafah tulen dan matematik tulen: projek ahli matematik David Hilbert, dan khususnya pertikaiannya dengan pemikir berpengaruh yang lain. , L.E.J. Brouwer. Apabila matematik tulen menjadi matang pada Abad ke-19 dan berlaku atas tanggapan yang semakin abstrak dan tidak intuitif, ahli matematik dan ahli falsafah sama-sama melihat dengan jelas keperluan untuk mengkaji secara serius asas subjek. Antaranya ialah Hilbert, pemain utama dalam usaha untuk meletakkan asas bagi subjek yang logik dan mantap dari segi praktikal. Beliau berharap dapat menterjemahkan pandangan bahawa matematik adalah sains rasional yang sempurna, dikongsi oleh ramai ahli falsafah, kepada sesuatu yang konkrit.

Pemikiran Hilbert didorong oleh perkembangan moden dalam matematik pada zamannya. Khususnya, beliau ingin memberikan rumah tetap dalam matematik kepada transfinite . Kerja daripada Bolzano dan Cantor dalam teori set (set yang secara naif hanyalah koleksi perkara yang dianjurkan di bawah label) ditangani dengan serius dan teliti dengan idea infiniti sebenar; iaitu, objek tak terhingga diberi kewujudan sendiri. Sebagai contoh, set semua integer {1, 2, …} sebagai objek dalam haknya sendiri ialah infiniti sebenar; sebaliknya, dalam berurusan semata-mata dengan jumlah yang besar secara sewenang-wenangnya, seseorang hanya memerlukan tanggapan tentang potensi tak terhingga, yang telah berada dalam kotak alat ontologi ahli matematik selama berabad-abad. Ahli falsafah dari setiap zaman telah membuat perbezaan ini - tanggapan tentang tak terhingga sebenar itu sendiri bukanlah perkara baru. Walau bagaimanapun, Cantor mengeluarkan implikasinya dalam teori set buat kali pertama. Kuncinya ialah cara mudah untuk memikirkan semula tanggapan nombor.

Set, Pengiraan dan Infiniti

Idea harian kami tentang saiz satu set dikurangkan kepada pengiraan mudah: diberi dua koleksi benda, kita boleh tahu sama ada ia sama saiz atau tidak dengan mengira perkara dalam setiap koleksi dan bandingkan jawapan – Saya ada tiga epal, anda ada tiga pisang. Cantor menggerudi ke dalam tanggapan 'bersaiz sama dengan' dan mengabstrakkan tanggapan tentang surat-menyurat satu dengan satu: set adalah sama saiz antara satu sama lain jika seseorang boleh memasangkan unsur-unsurnya - jika pada setiap pisang anda saya boleh menetapkan satu daripada epal saya dengan tepat. Tetapi, dengan abstraksi mudah ini kita mendapat, secara percuma, satu cara untuk bercakap tentang 'saiz' set tak terhingga: kita boleh memanggil dua koleksi tak terhingga saiz yang sama jika kita boleh meletakkannya dalam surat-menyurat satu sama satu. Ternyata, terdapat set tak terhingga yang tidak boleh dikaitkan satu-dengan-satu dengan cara ini. Terdapat berlaku, sebagai contoh, untuk menjadi 'lebih' nombor nyata (iaitu, semua garis nombor – perpuluhan tak terhingga dan semua) daripada nombor bulat, walaupun kedua-dua koleksi adalah tak terhingga.

Teorem Cantor: Infiniti Infinite

Ia menjadi lebih pelik - Teorem Cantor memberitahu kita, pada dasarnya, bahawa ada banyak daripada tak terhingga berbeza: banyak tak terhingga, sebenarnya, dan diberikan mana-mana koleksi tak terhingga, sentiasa ada yang lebih besar. Cara baru menangani konsep nombor ini membawa kepada kajian tentang kardinal, yang dalam satu erti kata lanjutan radikal pengiraan yang membolehkan kita bercakap tentang semua jenis infiniti sebenar.

Fenomena aneh ini membawa kepada ramai ahli matematik terkemuka menolak secara paksa terhadap infiniti sebenar yang baru ini, seperti Henri Poincaré, yang mengisytiharkan bahawa 'Tiada infiniti sebenar, orang Cantorian telah melupakannya, dan mereka telah jatuh ke dalam percanggahan'. Idea Cantor, walaupun kini hampir di mana-mana dalam matematik, pada mulanya tidak popular sama sekali.

Tetapi bagi sesetengah orang - Hilbert di kalangan mereka - rehat dari yang terhingga ini merupakan kemenangan besar untuk pembangunan matematik yang bebas. Bagi Hilbert, keteguhan matematik tak terhingga Cantor adalah satu perkara yang sangat penting estetik, seperti yang boleh difahami daripada petikan terkenalnya: “F dari syurga, yang diciptakan oleh Cantor untuk kita, tiada siapa yang boleh mengusir kita ”.

Realisme Matematik lwn Formalisme Matematik

Perbezaan dalam perspektif dalam falsafah matematik boleh sebahagiannya ditentukur oleh sikap terhadap infiniti baharu ini. Pandangan Hilbert meletakkan beliau tepat bertentangan dengan seorang lagi pemikir terkemuka, L. E. J. Brouwer, yang membawa kepada persaingan falsafah yang terkenal.

Hilbert melihat matematik sebagai sejenis permainan, berurusan semata-mata dalam manipulasi simbol mengikut peraturan tertentu, pandangan yang dikenali sebagai formalisme . Pandangan ini tidak semestinya melarang tafsiran 'permainan formula' ini sebagai cara ini-atau-itu-bersambung dengan realiti, tetapi, dalam bentuk asasnya, ia memerlukan komitmen yang agak kurang kepada 'entiti' matematik yang bermasalah daripada bentuk lama realisme matematik , seperti platonisme (pandangan dating, secara semula jadi, kembali ke Hidangan , yang berpendapat bahawa objek matematik seperti '1' dan 'bulatan' benar-benar wujud sebagai objek berterusan dengan cara yang tidak bergantung kepada kita dan pemahaman kita tentangnya). Brouwer memahami matematik dengan cara ketiga yang berbeza secara radikal daripada kedua-dua perspektif ini.

Salah satu teorem Hilbert yang lebih terkenal, dan inti dari titik perselisihan yang mendalam antara dia dan Brouwer, adalah apa yang dipanggilnya Teorem Asas . Butiran yang lebih halus tidak relevan: apa yang menarik bagi ahli falsafah, dan tidak menyenangkan bagi Brouwer, ialah cara Hilbert membuktikannya. Teorem Asas Hilbert ialah sebuah teorem kewujudan - ia mengambil bentuk ' terdapat sekurang-kurangnya satu X’. Ahli matematik, apabila ditugaskan untuk menunjukkan bahawa 'terdapat sekurang-kurangnya satu X', boleh mengambil salah satu daripada dua pendekatan: mereka mesti sama ada menunjukkan cara untuk mencari X sedemikian, atau menunjukkan bahawa ia adalah mustahil bahawa tidak ada X seperti itu. Bukti jenis pertama dipanggil membina , dan bukti jenis kedua dipanggil tidak membina. Bukti Hilbert tentang Teorem Asas adalah tidak membina. Brouwer mengambil isu: dia mengasaskan dan mempertahankan pendekatan terhadap falsafah matematik yang dikenali sebagai intuisi .

Intuisionisme dan Konstruktivisme

Ahli intuisi enggan menganggap objek matematik sebagai perkara yang tidak dibina oleh aktiviti minda. Bagi Brouwer, teknik pembuktian tidak membina seperti yang digunakan oleh Hilbert sangat bermasalah. Sekolah falsafah matematik yang lebih luas yang menolak pembuktian tidak membina ini dikenali sebagai konstruktivisme . Konstruktivis sering menolak kewujudan infiniti sebenar dalam matematik, yang sebagai pandangan bebas dikenali sebagai finitisme (bersama dengan sepupunya yang agak pinggiran, ultrafinitisme , yang menolak walaupun objek terhingga yang 'terlalu besar untuk dibina secara munasabah'). Hilbert dan Brouwer dengan itu menawarkan bukan sahaja perspektif yang berbeza tentang realiti dan kesahihan objek matematik, tetapi cara yang sangat berbeza untuk melakukan matematik.

Kedua-duanya melahirkan kajian baru dalam logik matematik itu sendiri: logik intuisi mengkaji sistem logik tanpa undang-undang pertengahan yang dikecualikan dan sehingga hari ini merupakan bidang penyelidikan yang aktif. Walau bagaimanapun, yang lebih terkenal, pendekatan formalis awal Hilbert mempunyai matlamat optimistik penciptaan sistem aksiomatik (aksiom sebagai pernyataan awal sentiasa dianggap benar) dari mana semua matematik boleh diperoleh, dan yang dengan sendirinya bebas daripada percanggahan. Tanggapan ini - masing-masing dipanggil kesempurnaan dan konsisten dalam logik matematik - kedua-duanya nampaknya perkara yang wajar untuk ditanya tentang asas matematik pilihan anda.

Pada tahun 1900, Hilbert menerbitkan senarai 23 masalah yang dia anggap berada di bahagian canggih dalam matematik kontemporari ketika itu. Kedua dalam senarai adalah untuk menunjukkan bahawa aksiom aritmetiknya adalah konsisten. Sistem aksiom ini menawarkan struktur aritmetik asas yang biasa kita kenali – nombor, penambahan, penolakan, dsb. – dan, diharapkan, juga cukup kuat untuk memformalkan seluruh matematik.

Teorem Ketidaklengkapan Gödel: Masalah di Syurga

Dua teorem ketidaklengkapan Kurt Gödel yang kini terkenal telah merehatkan tafsiran projek Hilbert yang lebih berbintang dengan menunjukkan bahawa Tidak sistem aksiom yang mengandungi aritmetik boleh membuktikan ketekalannya sendiri. Ia adalah teorem logik yang tepat dan halus dan ahli falsafah telah berhati-hati dalam mempertimbangkan akibatnya untuk realisme matematik (Gödel sendiri masih seorang ahli Platonis yang komited).

Walaupun program Hilbert tidak semestinya dalam keadaan terhenti sepenuhnya selepas Gödel, teorem-teorem itu merupakan detik-detik aliran untuk logik matematik – dan telah menjadi subjek perbincangan falsafah yang tidak berkesudahan sejak itu. Pendekatan Hilbert bukanlah perkataan pertama mahupun terakhir mengenai asas aksiomatik matematik. Banyak projek besar wujud.

Frege, dan kemudian Russell, mengetuai ahli logik pendekatan, yang bertujuan untuk mengurangkan teorem matematik kepada proposisi logik. Russell terkenal mendapati isu yang serius dalam pendekatan Frege - salah satu aksiomnya, iaitu membenarkan penciptaan set dengan menggunakan set semua perkara yang memuaskan harta yang diberikan, terlanggar percanggahan, kini dikenali sebagai Paradoks Russell: bahawa set semua set yang tidak mengandungi diri mereka sendiri, entiti karut, dibenarkan oleh undang-undang ini. Sebaliknya, teorem Gödel seolah-olah meletakkan brek pada cita-cita logik Russell sendiri, dan ahli matematik beralih kepada pendekatan yang kurang bercita-cita tinggi. Frege dan Russell kedua-duanya adalah penting kepada perkembangan awal Ludwig Wittgenstein , yang kerjanya mempunyai pelbagai implikasi lanjut untuk falsafah matematik, termasuk status logik dan hubungannya dengan bahasa semula jadi.

Soalan Lama, Soalan Baru: Masa Depan Falsafah Matematik

Akhirnya, penyelesaian yang berkesan untuk masalah aksiomatisasi teori set ditemui dalam bentuk aksiom Zermelo-Fraenkel (bersama-sama dengan aksiom pilihan, kontroversi sejarah jika kurang hari ini) … Dari segi praktikal ontologi ini – yang mengandungi hanya satu objek, a ditetapkan , dari mana segala-galanya dibina - adalah 'lalai' untuk ahli matematik pada masa kini (walaupun bukan satu-satunya pilihan).

Teori set Zermelo-Fraenkel terletak di sepanjang jalan dari spekulasi falsafah kepada pengetahuan matematik konkrit - ia kini menjadi objek matematik yang dikaji oleh ahli logik. Tetapi sama seperti tanggapan Cantor tentang ditetapkan mencabar cara ahli falsafah berfikir tentang matematik, jadi abstraksi yang lebih baru mula melakukan perkara yang sama, apabila pendekatan asas baru datang dan pergi. Bukan sahaja soalan-soalan lama masih segar, tetapi soalan-soalan baru muncul daripada idea-idea baru dalam matematik, tidak pernah gagal menyibukkan ahli falsafah, apabila interaksi antara falsafah dan matematik semakin mendalam.